Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ


страница5/10
eco.na5bal.ru > Экология > Методические указания
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Цель: изучить методику решения задач по оптимизации распределения ресурсов.
2.3.1. Методика расчета

Большое число задач, возникающих на производстве и связанных с ресурсосбережением, относятся к классу задач линейного программирования, в том числе задача распределения ресурсов. При этом возможна лишь одна из двух взаимоисключаемых постановок: при заданных ресурсах необходимо максимизировать получаемый результат либо при заданном результате минимизировать объемы используемых ресурсов.

Методику расчета рассмотрим на примере. Пусть требуется определить план (рациональную программу) выпуска 4 видов продукции Р1, Р2, Р3 и Р4, для изготовления которых необходимы ресурсы трех типов. В качестве ресурсов могут выступать трудовые, материальные, природные, финансовые и т.п.

Количество каждого типа i-го ресурса для изготовления каждого j-го вида продукции называется нормой расхода и обозначается аij. Количество каждого типа ресурса, которым располагает предприятие, обозначается bi. Исходные данные значений аij и bi с учетом программы выпуска продукции xi и возможной прибыли от реализации продукции (в условных единицах – у.е.) приведены в таблице 2.2.
Таблица 2.2. Исходные данные

Тип ресурсов

Вид продукции

Располагаемый ресурс, bi

Р1

Р2

Р3

Р4

1

2

3

1,5

9,0

6,0

3,0

7,5

9,0

4,5

6,0

12,0

6,0

4,5

18,0

60

165

150

Граница выпуска: нижняя / верхняя
















Прибыль (у.е. за ед. продукции)

100

110

120

130




Программа (кол-во ед. продукции)

x1

x2

x3

x4





Таким образом, для того чтобы выпустить единицу продукции Р2, требуется 3,0 единицы первого типа ресурса, 7,5 – второго и 9,0 – третьего. Искомая рациональная программа в количестве единиц продукции (штуки) обозначается x1, x2, x3, x4 соответственно. На основании исходных данных составляются уравнения для дальнейших расчетов.

Потребный ресурс первого типа по всем видам продукции:

1,5x1 + 3,0x2 + 4,5x3 + 6,0x4,

но он не может превышать располагаемый объем данного ресурса, имеющийся в наличии у предприятия:

1,5x1 + 3,0x2 + 4,5x3 + 6,0x4 60.

При составлении подобным образом уравнений для других типов ресурсов получается система с учётом ограничений по верхней и нижней границам выпуска:


.
(2.1)
В этой системе неравенств, которые устанавливают зависимости для ресурсов, выступают ограничениями, а предельно допустимые значения переменных (нижняя строка) – граничными условиями.

В ограничениях левые части неравенства представляют собой потребные ресурсы для производства продукции – аij, а правые – располагаемые предприятием – bi.

Если в неравенства ввести дополнительные переменные:

y1 0, y2 0, y3 0, то система (6.1) записывается так:


.
(2.2)
В системе (2.2) дополнительные переменные (yi) представляют собой разность между располагаемым ресурсом и потребленным и, следовательно, равны неиспользованному ресурсу в процессе выполнения программы. Иными словами, дополнительные переменные – это резервы каждого типа ресурсов:


.


Система (2.1) содержит три уравнения и четыре неизвестных, поэтому она имеет бесчисленное множество решений, а поскольку в задаче определяется рациональная программа выпуска продукции, то все эти решения будут представлять собой различные варианты программы.

Из этого множества решений надо выбрать наилучшее, что сделать можно, но для этого необходимо сформулировать задачу оптимизации распределения ресурсов исходя из положения, что возможна лишь одна из двух взаимоисключаемых постановок:

– при заданных ресурсах максимизировать получаемый результат;

– либо при заданном результате минимизировать объемы используемых ресурсов.

При такой постановке можно предусмотреть для решения рассматриваемого примера: а) максимизацию прибыли или сумму выпуска единиц продукции при заданных ресурсах, б) минимизацию ресурсов при заданной прибыли или единиц выпускаемой продукции.

Для решения задачи таким образом в той или иной её постановке необходимы дополнительные данные.

Для первого случая (максимизация) необходимо знать прибыль, получаемую с единицы продукции (см. табл. 2.2), прибыль задана соответственно от вида продукции 100, 110, 120 и 130 у.е.). Исходя из этого, к системе уравнений (6.1) добавляется целевая функция

100x1 + 110x2 + 120x3 + 130x4 max. (2.3)
Для второй постановки необходимо знание желаемой или требуемой прибыли. Пусть она равна 1500 у.е. Поскольку y1, y2 и y3 представляют собой резервы ресурсов, то максимизация их суммы обеспечивает минимизацию используемых ресурсов:

y1 + y2 + y3 max, (2.4)
Тогда с учетом максимизации резервов ограничение по прибыли рассчитывается по формуле (2.3):

100x1 + 110x2 + 120x3 + 130x4 ≥ 1500.
Система (2.1) и целевая функция примера в компактном виде представляются следующим образом:

F = ∑cj∙xj → max при j = 1, …,4,

a1j∙xj ≤ b1,

a2j∙xj ≤ b2,

a3j∙xj ≤ b3,

dj ≤ xj ≤ Dj.

В общем случае, с числом переменных n и ограничений m математическая модель задачи распределения ресурсов

F = ∑cj∙xj → max при j = 1, …,n,

aij∙xj ≤ bi при i = 1, …,m,

dj ≤ xj ≤ Dj. (2.5)
где cj – коэффициент в целевой функции (в данном случае прибыль в абсолютных величинах), аij – норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы j-го продукта, bi – располагаемые ресурсы всех типов, dj и Dj – минимально и максимально допустимые значения xj, т.е. выпуск единиц продукции не менее, но и не более того, что показано в ограничении, xj – количество единиц продукции j-го вида (шт., кг, м2, руб. и т.д.).

Задачи линейного программирования могут решаться аналитическими и графическими методами. Аналитические методы, которые представляют собой последовательность вычислений по некоторым правилам (алгоритму), являются основой для решения задачи на ЭВМ. Единственный недостаток этих методов – их малая наглядность (все расчеты происходят в ЭВМ).

Графические методы наглядны, но они пригодны для решения задач только на плоскости (или в трех координатах, что усложняет само решение и снижает наглядность), т.е. когда мерность пространства n = 2.
2.3.2. Пример расчета

Рассмотрим пример, решение задачи распределения ресурсов по исходным данным графическим методом (табл. 2.3).
Таблица 2.3. Исходные данные

Тип ресурсов

Вид продукции

Располагаемый

ресурс

Р1

Р2

1

2

3

38

9

16,5

55

20

13,5

450

140

180

Нижняя граница выпуска

Верхняя граница выпуска

0

--*

1

3,4



Прибыль, у.е.

7

16



Программа выпуска

х1

х2



Примечание. *Верхняя граница не ограничивается.
Составляется математическая модель – система неравенств, подобная системе (2.1):

. (2.6)

Определим, какую область допустимых решений (ОДР) задает система неравенств (2.6). В задаче линейного программирования все числа положительные (x1 1, x2 0), поэтому ОДР ограничивается и осями координат. Каждое из неравенств задает некоторую полуплоскость.

1. Рассмотрим первое неравенство: .

Для начала построим прямую .

Находим две любые точки, принадлежащие прямой (см. рис. 2.1):

Пусть , тогда – получили точку (0; 8,18).

Пусть , тогда – получили точку (11,842; 0).

Через две точки – (0; 8,18) и (11,842; 0) можем провести прямую. Тогда неравенство задает полуплоскость. Чтобы узнать, какую полуплоскость – верхнюю или нижнюю по отношению к прямой – задает неравенство, подставим в неравенство значение какой-нибудь точки. Например (0 ; 0) : , получили: – верно, т.е. берем ту полуплоскость, которая содержит (0 ; 0), т.е
нижнюю.

2. Аналогичным образом находим полуплоскость, задающуюся неравенством (см. рис. 2.2):



Рис. 2.1. .

Рис. 2.2. .


Рассматриваем прямую .

Находим точки: , тогда – получили точку (0; 7).

, тогда – получили точку (15,56; 0)

Через две точки: (0; 7) и (15,56; 0 ) можем провести прямую.

Берем пробную точку: например (0 ; 0) : , получили: – верно, т.е. берем ту полуплоскость, которая содержит (0 ; 0) – т.е. нижнюю.

3. Находим полуплоскость, задающуюся неравенством (см. рис. 2.3).

Рассматриваем прямую .

Находим точки: , тогда – получили точку
(0; 13,33).

, тогда – получили точку (10,91; 0).

Через две точки: (0; 13,33) и (10,91; 0) можем провести прямую.

Берем пробную точку (0; 0): , получили: - верно, т.е. берем ту полуплоскость, которая содержит (0 ; 0) – т.е. нижнюю.

4. Условия означают, что мы будем рассматривать только значения и значения , принадлежащие полосе от 1 до 3,4, т.е. значения, принадлежащие определенной области (см. рис. 2.4).



Рис. 2.3. .

Рис. 2.4. Граничные условия.


Тогда система неравенств (2.6) будет задавать ОДР, которая получится в пересечении трех полученных полуплоскостей и расположенная в данной полосе (см. рис. 2.5). Мы получили многоугольник ABCDE – так называемый многоугольник решений.

Решением системы неравенств (2.6) будут координаты всех точек, принадлежащих ОДР, т.е. многоугольнику АВСDЕ (см. рис. 2.5). Но поскольку в образовавшейся ОДР бесчисленное множество точек решения, то и задача имеет такое же множество допустимых решений и, как следствие, не все они будут оптимальными.

Могут быть предложены следующие подходы для нахождения оптимальных решений:

(2.7)

  • максимизировать суммарный выпуск продукции, при этом целевая функция F1 = x1 + x2 max.

  • максимизировать прибыль, при этом целевая функция .

Для (см. рис. 2.6) построим из начала координат линию нулевого уровня , т.е. прямую :

, тогда – получили точку (0 ; 0)

, тогда – получили точку (5 ; -5 ).


Рис. 2.5. График определения области допустимых решений (ОДР).

Рис. 2.6. .


Проводим прямую через две точки. Также проведем из начала координат перпендикуляр к прямой , т.е. вектор (или другими словами, прямую ).

Отметим, что функция задает семейство параллельных прямых, мы нашли одну прямую – – остальные параллельны ей. И если мы будем двигаться в направлении перпендикуляра , то значение будет возрастать. Будем передвигать прямую в направлении вектора параллельно самой себе (см. рис. 2.7). Нам необходимо найти точку, принадлежащую многоугольнику, такую, что значение будет в ней максимальным.

В последней пересекаемой вершине – в нашем случае вершине D, получаем наибольшее значение .

Точка D – точка пересечения прямых и . Найдем ее координаты, решив систему уравнений:

. (2.8)

Значения в точке D(9,696; 1,483): .

Для определения максимальной прибыли рассмотрим (рис. 2.8). Построим из начала координат линию нулевого уровня , т.е. прямую :

, тогда – получили точку (0 ; 0).

, тогда – получили точку (16 ; -7 ). Проводим прямую через две точки.

Также проведем из начала координат перпендикуляр к прямой , т.е. вектор (или прямую ).

Будем передвигать прямую в направлении вектора параллельно самой себе. Нам необходимо найти точку, принадлежащую многоугольнику, такую, что значение будет в ней максимальным. В последней пересекаемой вершине – в нашем случае, вершине C, получаем наибольшее значение (см. рис. 2.9). Точка С – точка пересечения прямой и прямой . Найдем ее координаты, решив систему уравнений:

.

Значения в точке С(6,921; 3,4):

.



Рис. 2.7. Максимальный выпуск продукции (точка D).

Рис. 2.8. .


Рис. 2.9. Максимальная прибыль (точка С).
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconМетодические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «редактирование»
Задания и методические указания к выполнению контрольных работ по дисциплине «Редактирование» для студентов заочной формы обучения...

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconМетодические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Экономика организации»
Учебное пособие содержит указания по выполнению практических работ по дисциплине «Экономика организации», являющейся общепрофессиональной...

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconМетодические указания по выполнению практических работ по дисциплине «Экономика организации»
Учебное пособие содержит указания по выполнению практических работ по дисциплине «Экономика организации», являющейся общепрофессиональной...

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconМетодические указания по иностранному языку по выполнению контрольных...
С 128 Английский язык. Методические указания по иностранному языку по выполнению контрольных заданий №1-2 для студентов 1 курса технических...

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconМетодические
Методические указания предназначены для студентов очной и заочной форм обучения, содержат перечень тем для рефератов и контрольных...

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconМетодические указания по выполнению контрольных работ (с комплектом...
Негосударственное (частное) образовательное учреждение высшего профессионального образования «южно-сахалинский институт экономики,...

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconМетодические рекомендации по выполнению практических работ экологические...
Методические рекомендации предназначены для организации выполнения практических работ по учебной дисциплине «Экологические основы...

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconМетодические указания по выполнению курсовой работы Для студентов экономических специальностей
Методические указания предназначены для студентов специальности 1-25 01 07 «Экономика и управление на предприятии» дневной и заочной...

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconМетодические указания к выполнению курсовой работы для студентов...
Макроэкономика: методические указания к выполнению курсовых работ для студентов экономических специальностей

Экономика природопользования методические указания по выполнению контрольных работ iconТ. Л. Соловьева правоведение пособие по изучению дисциплины и выполнению...
С24 Правоведение: Пособие по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ. – М.: Мгту га, 2010. – 36 с


Экология




При копировании материала укажите ссылку © 2000-2017
контакты
eco.na5bal.ru
..На главную